Question

(本题满分12分)

已知二次函数和“伪二次函数” （、、），

（I）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；

（II）在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，

（i）求证：；

（ii）对于“伪二次函数”，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.

Answer 1

解：（I）如果为增函数,

则(1)恒成立, 

 当时恒成立, (2) 由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.

则函数不可能总为增函数.   --------3分

（II）（i） =.     

       由,  则--------5分

（ii）不妨设,对于“伪二次函数”:

 =,       (3)            --------7分

由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性质，则 , (4)

 比较(3)( 4)两式得，

即：，(4)                  --------10分

不妨令，    (5)

设，则，

∴在上递增，  ∴.

  ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.          

  ∴“伪二次函数”不具有(ⅰ)的性质. -------12分