Question

选修4-5：不等式证明选讲
已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥m（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，等价于|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，根据绝对值不等式可得到右边大于等于1，即可得到|x-1|-|2x+3|≤1，分类讨论去绝对值号即可求得x的取值范围．

解答：解：对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，等价于|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立
因为

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x≤-

3

2

时，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3；
②当-

3

2

＜x＜1时，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
综上x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

点评：本题考查恒成立问题，考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．