Question

已知集合A={a1，a2，…，an}(0≤a1＜a2＜…＜an，n∈N*，n≥3)具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i至少一个属于A．
（1）分别判断集合M={0，2，4}与N={1，2，3}是否具有性质P，并说明理由；
（2）研究当n=3，4和5时，具有性质P的集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，可以判断集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P；
（2）确定a₁=0，再利用新定义，即可判断具有性质P的集合A中的数列{a_n}是否一定成等差数列．

解答：解：（1）集合M={0，2，4}具有性质P，N={1，2，3}不具有性质P．
∵集合M={0，2，4}中，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤2）两数中都是该数列中的项，4-2是该数列中的项，∴集合M={0，2，4}具有性质P；
N={1，2，3}中，3在此集合中，则由题意得3+3和3-3至少一个一定在，而3+3=6不在，所以3-3=0一定是这个集合的元素，而此集合没有0，故不具有性质P；
（2）若数列A具有性质P，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3，而2a_n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a₁=0；
n=3时，∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃
∴a₂+a₃与a₃-a₂至少有一个是该数列中的一项，
∵a₁=0，a₂+a₃不是该数列的项，∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂，数列{a_n}一定成等差数列；
n=4时，∵数列a₁，a₂，a₃，a₄具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
∴a₃+a₄与a₄-a₃至少有一个是该数列中的一项，
∵a₃+a₄不是该数列的项，∴a₄-a₃=a₂，或a₄-a₃=a₃，
若a₄-a₃=a₂，则数列{a_n}一定成等差数列；若a₄-a₃=a₃，则数列{a_n}不一定成等差数列；
n=5时，∵数列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
∴a₄+a₅与a₅-a₄至少有一个是该数列中的一项，
∵a₄+a₅不是该数列的项，∴a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，或a₅-a₄=a₄，
若a₅-a₄=a₄，a₄-a₃=a₂，则数列{a_n}一定成等差数列；若a₅-a₄=a₂，或a₅-a₄=a₃，则数列{a_n}不一定成等差数列．

点评：本题考查数列的综合应用，考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，属于难题．