Question

已知函数f(x)=x+

t

x

(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+

64

n

]内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（I）设出M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，对函数求导得到切线的斜率，写出切线的方程，根据切线过一个点，得到一个方程，根据根与系数的关系写出两点之间的长度，得到函数的表示式．
（II）根据三点共线写出其中两点连线的斜率相等，整理出最简单形式，把上一问做出的结果代入，求出t的值．
（III）根据前面做出的函数只一个增函数，写出不同的自变量对应的函数值的不等关系，根据对于任意的正整数都成立，得到m的取值范围，得到最值．

解答：解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵f′(x)=1-

t

x2

，
∴切线PM的方程为：y-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x12

)(x-x1)，
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-(x1+

t

x1

)=(1-

t

x12

)(1-x1)，
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，∴

x1+x2=-2t x1•x2=-t.

（*）|MN|=

(x1-x2)2+(x1+ t x1 -x2- t x2 )2

=

[(x1+x2)2-4x1x2][1+(1- t x1x2 )2]

，
把（*）式代入，得|MN|=

20t2+20t

，
因此，函数g（t）的表达式为g(t)=

20t2+20t

(t＞0)．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，k_MA=k_NA，
∴

x1+ t x1 -1

x1-0

=

x2+ t x2 -1

x2-0

，即

x12+t-x1

x12

=

x22+t-x2

x22

，
化简，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得t=

1

2

．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=

1

2

．
（Ⅲ）知g（t）在区间[2 ， n+

64

n

]上为增函数，
∴g(2)≤g(ai)≤g(n+

64

n

)（i=1，2，，m+1），
则m•g(2)≤g(a1)+g(a2)++g(am)≤m•g(n+

64

n

)．
依题意，不等式m•g(2)＜g(n+

64

n

)对一切的正整数n恒成立，
m

20•22+20•2

＜

20(n+ 64 n )2+20(n+ 64 n )

，
即m＜

1 6 [(n+ 64 n )2+(n+ 64 n )]

对一切的正整数n恒成立．
∵n+

64

n

≥16，∴

1 6 [(n+ 64 n )2+(n+ 64 n )]

≥

1 6 [162+16]

=

136 3

，
∴m＜

136 3

．由于m为正整数，∴m≤6．
又当m=6时，存在a₁=a₂═a_m=2，a_m+1=16，对所有的n满足条件．
因此，m的最大值为6．

点评：本题考查函数的综合题目，主要应用导函数求最值来解题，本题解题的关键是正确应用导数，本题是一个综合题目，综合性比较强，可以作为高考卷的压轴题．