Question

已知椭圆与双曲线具有相同的焦点F₁，F₂，且顶点P（0，b）满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过抛物线x²=12y焦点F的直线交椭圆于A、B两点，若，求实数λ的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由双曲线的焦点F₁（-，0），F₂（），知椭圆的焦点F₁（-，0），F₂（），由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为y=kx+3，联立方程组，得（4+9k²）x²+54kx+45=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，知，，由此能求出实数λ的范围．
解答：解：（1）∵双曲线的焦点F₁（-，0），F₂（），
∴椭圆的焦点F₁（-，0），F₂（），
∴a²-b²=5．
∵椭圆的顶点P（0，b）满足，
∴，
解得a²=9，
∴b²=4，
故椭圆的方程为：．
（2）设直线AB的方程为y=kx+3，
联立方程组，
得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵，
∴，①
，②
由①得，③
③÷②，得，
∴，
整理，得5λ²-26λ+5≤0，
∴．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．