题目内容

已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围(  )
分析:设出椭圆方程,根据其内接三角形的一个顶点是短轴的一个顶点,重心是一个焦点,利用向量求出已知顶点对边的中点,由该中点在椭圆内部列式求椭圆离心率的范围.
解答:解:不防设椭圆方程:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
再不妨设:B(0,b),三角形重心G(c,0),
延长BG至D,使|GD|=
|BG|
2

设D(x,y),则
BD
=(x,y-b)
BF
=(c,-b)

BF
=
2
3
BD
,得:(c,-b)=
2
3
(x,y-b)

解得:x=
3
2
c
y=-
b
2

而D(
3
2
c,-
b
2
)
是椭圆的内接三角形一边AC的中点,
所以,D点必在椭圆内部,
(
3
2
c)2
a2
+
(-
b
2
)2
b2
<1

把b2=a2-c2代入上式整理得:
c2
a2
1
3

e<
3
3

又因为椭圆离心率e∈(0,1),
所以,该椭圆离心率e的取值范围是(0,
3
3
)

故选B.
点评:本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了椭圆离心率的求法,求椭圆离心率范围的关键是利用椭圆的性质及平面几何知识,找到含有a和c的不等式.此题是中档题.
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