Question

某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-

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x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）

Answer 1

分析：将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值

解答：解：设生产x吨产品，利润为y元，
则y=px-R=(24200-

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5

x2)x-（50000+200x）
=-

1

5

x3+24000x-50000（x＞0）
y′=-

3

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x2+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0
∴当x=200时，y_max=3150000（元）
答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元）

点评：本题考查建立数学模型，三次函数的最值用导数来求．