Question

设点F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．
（1）求数量积的取值范围；
（2）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，可求得F₁（-1，0），F₂（1，0）．
设P（x，y），则有，，
，
∴．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，（*）
∵直线AB过椭圆的左焦点F₁，∴方程*有两个不相等的实根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），则，，．
线段AB的垂直平分线NG的方程为．
令y=0，则x_G=x₀+ky₀===．
∵k≠0，∴．即点G横坐标的取值范围为．
分析：（1）由P为椭圆C上任意一点，可得出点P的横坐标的取值范围，再利用向量的数量积的计算公式即可求出；
（2）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段AB的中点坐标，再利用已知即可得出线段AB的垂直平分线NG的方程．
点评：熟练掌握椭圆的性质、向量的数量积的计算公式、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、线段的中点坐标公式、线段的垂直平分线的方程是解题的关键．