Question

设点F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

PF1

?

PF2

的最小值为0，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

分析：先设点P（x，y），表示出

PF1

•

PF2

，然后消去y，得到关于x的二次函数，再根据二次函数的性质可得最值，从而得到a，b，c的等量关系，求出离心率．

解答：解：设点P（x，y）为椭圆C上任意一点，则

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴y²=b²（1-

x2

a2

），
∴

PF1

•

PF2

=（x+c，y）（x-c，y）=x²+y²-c²=x²+b²（1-

x2

a2

）-c²=（1-

b2

a2

）x²+b²-c²≥b²-c²，
∵

PF1

•

PF2

的最小值为0，
∴b²-c²=0，
则a²=b²+c²=2c²，
∴

c2

a2

=

1

2

=e²
即e=

2

2

．
故选：B．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，以及向量数量积的应用和二次函数的最值，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．