题目内容
(本题满分10分) 设
和
分别是从1,2,3,4这四个数中随机选取的数,用随机变量X表示方程
的实根的个数(重根按一个计)。
(1)求方程
有实根的概率;(2)求随机变量X的分布列和数学期望;
(3)若
中至少有一个为3,求方程
有实根的概率。



(1)求方程

(3)若


(1)
(2)
的数学期望
(3)
,从而

(2)


(3)


解:(1)由题意知:设所有基本事件的集合为Ω,记“方程
没有实根”为事件
,“方程
有且只有一个实根”为事件B,“方程
有两个相异实根”为事件
,则
,
,
,
。
所以Ω中的基本事件总数为16个,
中的基本事件总数为9个,
中的基本事件总数为2个,
中的基本事件总数为5个。
又因为
是互斥事件,故所求概率。

(2)由题意,
的可能值为0,1,2,则
。
故
的分布列为
的数学期望
。
(3)记“
中至少有一个是3”为事件
,“方程
有实根”为事件
,则易知
,从而









所以Ω中的基本事件总数为16个,



又因为


(2)由题意,


故

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(3)记“







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