Question

在以坐标轴为对称轴的椭圆上，O为坐标原点，A为右顶点，F为右焦点，过F作MN∥y轴，交椭圆于M，N两点，若|MN|=3，椭圆的离心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求椭圆的方程；
（2）若此椭圆的长轴不变，当以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆上时，求椭圆短半轴长b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，易得

c a = 1 2 2b2 a =3

，从而可求几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出椭圆方程及P的坐标，利用以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆，建立方程，即可求得结论．

解答：解：（1）由已知得，

c a = 1 2 2b2 a =3

，∴a=2，c=1，b=

3

故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1（b＞0），则令P（2cosα，bsinα）（0＜cosα＜1）
∵以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆
∴

bsinα

2cosα

×

bsinα

2cosα-2

=-1
∴令t=cosα（0＜t＜1），则b2=

t-t2

1-t2

=

t

1+t

1-

1

1+t

∵0＜t＜1，∴0＜b2＜

1

2

∵b＞0，∴0＜b＜

2

2

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，有一定的综合性．