Question

【题目】(导学号：05856310)

已知函数f(x)＝x＋＋ln x(a∈R)．

(Ⅰ)当a＝2时， 求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若关于x的函数g(x)＝－f(x)＋ln x＋2e(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，求实数a的值．

Answer 1

【答案】(1) f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间为(0,1). (2) a＝e2＋

【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）把方程化为 =x2﹣2ex+a，求得 h（x）=的最大值为 h（e）=，再求得m（x）=x2﹣2ex+a 的最小值 m（e）=a﹣e2，根据 a﹣e2=求出a的值．

试题解析：

(Ⅰ)由题知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝2时，f′(x)＝1－＋＝＝，

当x>1时f′(x)>0，当0<x<1时f′(x)<0，

∴函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，函数f(x)的单调递减区间为(0,1).

(Ⅱ)由g(x)＝－x－＋2e＝0得＝x＋－2e，化为＝x2－2ex＋a.

令h(x)＝，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e，当0<x<e时，h′(x)>0; 当x>e时，h′(x)<0，∴函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减，

∴当x＝e时，函数h(x)取得最大值，其值为h(e)＝.

而函数m(x)＝x2－2ex＋a＝(x－e)2＋a－e2，

当x＝e时，函数m(x)取得最小值，其值为m(e)＝a－e2，

∴当a－e2＝，即a＝e2＋时，方程－f(x)＋ln x＋2e＝0只有一个根.