若数列{an}中不超过 f(m)的项数恰为bm(m∈N*).则称数列{bm}是数列{an}的生成数列.称相应的函数f(m)是{an}生成{bm}的控制函数．设f(m)=m2．(1)若数列{an}单调递增.且所有项都是自然数.b1=1.求a1,(2)若数列{an}单调递增.且所有项都是自然数.a1=b1.求a1,(3)若an=2n .是否存在{bm}生成{an}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．若数列{a_n}中不超过 f（m）的项数恰为b_m（m∈N^*），则称数列{b_m}是数列{a_n}的生成数列，称相应的函数f（m）是{a_n}生成{b_m}的控制函数．设f（m）=m²．
（1）若数列{a_n}单调递增，且所有项都是自然数，b₁=1，求a₁；
（2）若数列{a_n}单调递增，且所有项都是自然数，a₁=b₁，求a₁；
（3）若a_n=2n （n=1，2，3），是否存在{b_m}生成{a_n}的控制函数g（n）=pn²+qn+r（其中常数p，q，r∈Z），使得数列{a_n}也是数列{b_m}的生成数列？若存在，求出g（n）；若不存在，说明理．

分析（1）根据题意即得结论；
（2）根据题意分a₁=0，a₁≥2，a₁=1讨论即可；
（3）若a_n=2n （n=1，2，3），则b_m为不超过$\frac{1}{2}{m}^{2}$的最大整数，对m分奇偶讨论得b_m=$\left\{\begin{array}{l}{2{k}^{2}-2k，}&{m=2k-1（k∈{N}^{*}）}\\{2{k}^{2}，}&{{m=2k（k∈N}^{*}）}\end{array}\right.$，假设存在控制函数g（n），得p=2，且0≤q≤2，q∈Z，分q=0，1，2三种情况讨论即可．

解答解：（1）若b₁=1，因为数列{a_n}单调递增，
所以a₁≤1²，又所有项都是自然数，所以a₁=0或1；
（2）因为数列{a_n}的每项都是自然数，
若a₁=0≤1²，则b₁≥1，与a₁=b₁矛盾；
若a₁≥2，则因数列{a_n}单调递增，故不存在a_n≤1²，即b₁=0，也与a₁=b₁矛盾；
当a₁=1时，因数列{a_n}单调递增，故n≥2时，a_n＞1，所以b₁=1，符合条件；
综上，a₁=1．
（3）若a_n=2n （n=1，2，3），则数列{a_n}单调递增，显然数列{b_n}也单调递增，
由${a}_{n}≤{m}^{2}$，即2n≤m²，得$n≤\frac{1}{2}{m}^{2}$，所以b_m为不超过$\frac{1}{2}{m}^{2}$的最大整数，
当m=2k-1（k∈N^*）时，
因为$2{k}^{2}-2k＜\frac{1}{2}{m}^{2}=2{k}^{2}-2k+\frac{1}{2}$＜2k²-2k+1，所以${b}_{m}=2{k}^{2}-2k$；
当m=2k（k∈N^*）时，$\frac{1}{2}{m}^{2}=2{k}^{2}$，所以${b}_{m}=2{k}^{2}$，
综上，b_m=$\left\{\begin{array}{l}{2{k}^{2}-2k，}&{m=2k-1（k∈{N}^{*}）}\\{2{k}^{2}，}&{{m=2k（k∈N}^{*}）}\end{array}\right.$，
即当m＞0且m为奇数时，${b}_{m}=\frac{{m}^{2}-1}{2}$；当m＞0且m为偶数时，${b}_{m}=\frac{{m}^{2}}{2}$．
若数列{a_n}是数列{b_m}的生成数列，且{b_m}生成{a_n}的控制函数g（n），
则b_m中不超过 g（n）的项数恰为a_n，即b_m中不超过g（n）的项数恰为2n，
所以b_2n≤g（n）＜b_2n+1，即2n²≤pn²+qn+r＜2n²+2n对一切正整数n都成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{（p-2）{n}^{2}+qn+r≥0}\\{（2-p）{n}^{2}+（2-q）n-r＞0}\end{array}\right.$对一切正整数n都成立，
故得p=2，且$\left\{\begin{array}{l}{qn+r≥0}\\{（2-q）n-r＞0}\end{array}\right.$对一切正整数n都成立，故0≤q≤2，q∈Z，
又常数r∈Z，
当q=0时，0≤r＜2n（n≥1），所以r=0，或r=1；
当q=1时，-n≤r＜n（n≥1），所以r=0，或r=-1；
当q=2时，-2n≤r＜0（n≥1），所以r=-2，或r=-1；
所以g（n）=2n²，或2n²+1，或2n²+n-1，或2n²+n，或2n²+2n-2，或2n²+2n-1（n∈N^*）．