题目内容

11.已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-1212).
(1)当x∈[1,4]时,求该函数的值域;
(2)若f(x)≤mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m得取值范围.

分析 (1)利用换元法令t=log2x,t∈[0,2],得f(t)=(t-2)(1212t-1212),利用二次函数性质可得f(0)≥f(t)≥f(3232),
进而求出值域;
(2)由(1)可整理不等式为t+2t2t-3≤2m恒成立,只需求出左式的最大值即可,利用构造函数g(t)=t+2t2t,知在(22,+∞)上递增,求出最大值.

解答 解:令t=log2x,t∈[0,2],
∴f(t)=(t-2)(1212t-1212
=1212(t-2)(t-1),
∴f(0)≥f(t)≥f(3232),
∴-1818≤f(t)≤1,
故该函数的值域为[-1818,1];
(2)x∈[4,16],
∴t∈[2,4],
1212(t-2)(t-1)≤mt,
∴t+2t2t-3≤2m恒成立,
令g(t)=t+2t2t,知在(22,+∞)上递增,
∴g(t)≤g(4)=9292
9292-3≤2m,
∴m≥3434

点评 考查了换元法的应用和恒成立问题的转换,属于基础题型,应熟练掌握.

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