Question

如图，已知圆G：x²+y²﹣2x﹣y=0经过椭圆的右焦点F及上顶点B．过点M（m，0）作倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m范围．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

专题：

圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（1）利用已知即可得到点F，B的坐标，即可得到c，b，再利用a²=b²+c²即可；

（2）把直线的方程与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，即可得到．代入即可得到m的取值范围．

解答：

解：（1）∵圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B．

∴F（2，0），B（0，），∴c=2，b=，

∴a²=b²+c²=6．

∴椭圆的方程为．

（2）由题意l的方程为：．

设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．

联立，消去y整理得2x²﹣2mx+m²﹣6=0．

由△＞0得到4m²﹣4×2（m²﹣6）＞0，解得．

∴x₁+x₂=m，．

又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，∴．

∴（x₁，y₁）•（x₂﹣1，y₂）＜0，

∴＜0．

∴．

∴2m²﹣3m﹣9＜0，

解得．

综上所述，m的取值范围是．

点评：

熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、点在圆的内部的等价条件、一元二次不等式的解法等是解题的关键．