题目内容

如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,
BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P(如图2).
(Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.
分析:(Ⅰ)取BE中点D,可得△ADF是正三角形,从而可得EF⊥AD,即A1E⊥EF,根据二面角A1-EF-B为直二面角,可得A1E⊥BE,从而可得A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,从而可求其大小.
解答:(Ⅰ)证明:取BE中点D,连接DF.
因为AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2,
而∠A=60°,即△ADF是正三角形,
又因为AE=ED=1,所以EF⊥AD,
所以在图2中A1E⊥EF,BE⊥EF,
∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.
由题设条件知此二面角为直二面角,A1E⊥BE,
又BE∩EF=E
∴A1E⊥平面BEF,
∴A1E⊥平面BEP;
(Ⅱ)在图2中,A1E不垂直A1B,
∴A1E是平面A1BP的垂线,又A1E⊥平面BEP,
∴A1E⊥BE.
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.
在△EBP中,BE=EP=2而∠EBP=60°,∴△EBP是等边三角形.
又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P,
∴Q为BP的中点,且EQ=
3
,又A1E=1,
在Rt△A1EQ中,tan∠EA1Q=
EQ
A1E
=
3

∴∠EA1Q=60°,
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°.
点评:本题考查空间线面位置关系,考查线面垂直,考查线面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定方法,作出线面角,属于中档题.
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