题目内容
若对定义在R上的可导函数f（x），恒有（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0，（其中f′（2x）表示函数f（x）的导函数f′（x）在2x的值），则f（x）（ ）
分析：根据条件构造函数g（x）=
，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，进而可以判断函数f（x）的取值情况．
| x4f(2x) |
| ex |
解答：解：函数g（x）=
，
则g′(x)=
=
=
=
，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=
≥g（0），
即g（x）=
≥0，当x≠0时，g（x）＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选C．
| x4f(2x) |
| ex |
则g′(x)=
| [x4f(2x)]′ex-x4f(2x)?[ex]′ |
| [ex]2 |
| 4x3f(2x)+2x4f′(2x)-x4f(2x) |
| ex |
=
| (4x3-x4)f(2x)+2x4f′(2x) |
| ex |
| x3[(4-x)f(2x)+2f′(2x)] |
| ex |
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=
| x4f(2x) |
| ex |
即g（x）=
| x4f(2x) |
| ex |
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选C．
点评：本题主要考查函数值判断，利用条件构造函数g（x）=
是解决本题的关键，利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的观察能力，综合性较强，难度较大．
| x4f(2x) |
| ex |
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已知函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，且对?x∈R不等式：f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3?f(3)，b=
?f(
)，c=(-2)?f(-2)，则a、b、c的大小关系是（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| A、c＞b＞a |
| B、c＞a＞b |
| C、a＞b＞c |
| D、a＞c＞b |
；
，若
，则
1
为定义在R上的可导函数,且
对于
恒成立,则有
, 
；
满足：（1）
，（2）
（3）
，则
=
；
，若
，则
1
为定义在R上的可导函数,且
对于
恒成立,则有
, 
；
满足：（1）
，（2）
（3）
，则
=