Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性.

（2）是否存在实数，对任意的，且，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）

【解析】

（1）先求导函数得，再讨论的符合即可得函数的单调性；

（2）将不等式变形为，再构造函数，则原命题等价于在上单调递减，再利用导数求解即可.

解：（1）因为，

所以.

当时，恒成立，故在上单调递增；

当时，令，得；令，得.

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为对任意的且，恒成立，

不妨设，则，即，

设，则在上单调递减，即，

所以对于恒成立.

所以对于恒成立，

令，则，

即，解得.

所以，存在，对任意的且，恒成立.