题目内容

已知椭圆C以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心,椭圆的一个焦点为(1,0),点(
3
2
6
2
)
在椭圆上,直线l过椭圆的右焦点与椭圆交于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若线段MN的垂直平分线过点(0,
1
5
)
,求出直线l的方程.
分析:(Ⅰ)由题设条件知c=1,由点(
3
2
6
2
)
在椭圆上,知b2=2,a2=3,由此能求出椭圆方程.
(Ⅱ)当k不存在时,MN的垂直平分线为x轴,不过点(0,
1
5
)
,不合题意.设直线y=k(x-1)∴
y=k(x-1)
x2
3
+
y2
2
=1
,(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,然后由韦达定理进行求解.
解答:解:(Ⅰ)设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1∴c=1∴a2=b2+1
∵点(
3
2
6
2
)
在椭圆上,
3
4
a2
+
6
4
b2
=1…3
分∴4b4-5b2-6=0∴b2=2,a2=3∴
x2
3
+
y2
2
=1…6

(Ⅱ)当k不存在时,MN的垂直平分线为x轴,不过点(0,
1
5
)
,不合题意.…(7分)
设直线y=k(x-1)∴
y=k(x-1)
x2
3
+
y2
2
=1
∴(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0…(8分)∴x1+x2=
6k2
2+3k2
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=-
4k
2+3k2
MN的中点为(
3k2
2+3k2
,-
2k
2+3k2
)…10
分∴
-2k
2+3k2
-
1
5
3k2
2+3k2
=-
1
k
∴3k2-5k+2=0∴k=
2
3
或k=1
y=
2
3
(x-1)或y=x-1…13
点评:本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用,解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
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