题目内容
已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+
(n∈N*).用数学归纳法证明:an<an+1(n∈N*).
an | 1+an |
分析:直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=1验证不等式成立;假设n=k时不等式成立,证明n=k+1时不等式也成立即可.
解答:证明:当n=1时,a2=1+
=
,a1<a2,所以n=1时,不等式成立.
假设n=k(k∈N*)时,ak<ak+1成立,则n=k+1时,
ak+2-ak+1= 1+
-ak+1
=1+
-(1+
)
=
-
=
>0;
即ak+2-ak+1>0,
所以n=k+1时,不等式也成立.
综上所述,不等式an<an+1(n∈N*)成立.
a1 |
1+a1 |
3 |
2 |
假设n=k(k∈N*)时,ak<ak+1成立,则n=k+1时,
ak+2-ak+1= 1+
ak+1 |
1+ak+1 |
=1+
ak+1 |
1+ak+1 |
ak |
1+ak |
=
ak |
1+ak |
ak+1 |
1+ak+1 |
=
ak+1-ak |
(1+ak+1)(1+ak) |
即ak+2-ak+1>0,
所以n=k+1时,不等式也成立.
综上所述,不等式an<an+1(n∈N*)成立.
点评:本题考查数列与不等式的证明,考查数学归纳法证明步骤的应用,注意证明n=k+1时必须用上假设,考查逻辑推理能力.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目