题目内容

如图，已知P是焦距为上一点，过P的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于点P₁，P₂，且 $数学公式$ 为坐标原点．
（1）试求当 $数学公式$ 取得最大值时，双曲线C的方程；
（2）设满足条件（1）的双曲线C的两个顶点为A₁，A₂，直线l过定点D（3，0），且与双曲线交于M，N两点（M不为顶点），求证：直线A₁M，A₂N的交点的横坐标为定值．

解：（1）设P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
∵点P在双曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$
又∵P₁，P₂在渐近线 $\text{[math]}$ 上．
∴ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
又a²+b²=c²=8，a²+b²≥2ab， $\text{[math]}$ ．
当且仅当a=b=2时，S有最大值 $\text{[math]}$ ．所以双曲线C的方程为：x²-y²=4．
（2）设直线l的方程为x-3=ky，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．有 $\text{[math]}$
∴（k²-1）y²+6ky+5=0（k²-1≠0）．
则∴ $\text{[math]}$
A₁M的方程为 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$
直线A₁M，A₂N的交点H的横坐标x_H满足： $\text{[math]}$
化简得：（x₄y₃+2y₃-x₃y₄+2y₄）x_H=2x₄y₃+4y₃+2x₃y₄-4y₄
即：[2（y₃+y₄）+3（y₃-y₄）]x_H=[4ky₃y₄+6（y₃+y₄）+4（y₃-y₄）] $\text{[math]}$ ．
故A₁M，A₂N的交点H在直线 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先设P（x₀，y₀），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．代入 $\text{[math]}$ ，找到坐标之间的关系，再把 $\text{[math]}$ 用含三点坐标的式子表示，求范围，根据范围找最大值时对应的a，b，即可得到当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，双曲线C的方程．
（2）先设直线l的方程，M，N点坐标，把直线方程代入（1）中所求双曲线C的方程中，求M，N的纵坐标的和与积，再利用两点式求出A₁M，A₂M的方程，联立，求交点，再验证交点横坐标是否为定值．
点评：本题灵活运用了直线与双曲线的关系，求最值，以及判断定植．