Question

【题目】已知函数f（x）=ex+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R． （Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线l与曲线y=g（x）切于点（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）F（x）=ex﹣2x﹣b，则F'（x）=ex﹣2．

令F'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上单调递增．

令F'（x）=ex﹣2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减．

（Ⅱ）因为f'（x）=ex+2x﹣1，所以f'（0）=0，所以l的方程为y=1．

依题意， ，c=1．

于是l与抛物线g（x）=x2﹣2x+b切于点（1，1），

由12﹣2+b=1得b=2．

所以a=﹣2，b=2，c=1．

（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，则h（x）≥0恒成立．

易得h'（x）=ex﹣（a+1）．

⑴当a+1≤0时，

因为h'（x）＞0，所以此时h（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．

①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤﹣1；

②若a+1＜0，取x0＜0且 ，

此时 ，所以h（x）≥0不恒成立．

不满足条件；

⑵当a+1＞0时，

令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；

由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．

所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．

要使得“h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立”，必须有：

“当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0”成立．

所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．则a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．

令G（x）=2x﹣xlnx﹣1，x＞0，则G'（x）=1﹣lnx．

令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；

由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，

所以，当x=e时，G（x）max=e﹣1．

从而，当a=e﹣1，b=0时，a+b的最大值为e﹣1．

综上，a+b的最大值为e﹣1

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据切线方程求出a，b，c的值即可；（Ⅲ）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，通过讨论a的范围，问题转化为b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1），得到a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1，

令G（x）=2x﹣xlnx﹣1，x＞0，根据函数的单调性求出a+b的最大值即可．

【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．