Question

某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）已知该企业已筹集到18万元投资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
    ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
    ②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

Answer 1

分析：（1）设出函数解析式，根据图象f（1）=0.25，g（4）=4，即可求得结论；
（2）①利用（1）的结论，可得总利润；②确定总利润函数，换元，利用配方法，可求最值．

解答：解：（1）设甲、乙两种产品分别投资x万元（x≥0），所获利润分别为f（x）、g（x）万元，
由题意可设f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，
∴根据图象f（1）=0.25，g（4）=4
∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=2

x

（x≥0）．…2′
（2）①由（1）得f（9）=2.25，g（9）=2

9

=6，∴总利润y=8.25（万元）．….4′
②设B产品投入x万元，A产品投入（18-x）万元，该企业可获总利润为y万元，
则y=

1

4

（18-x）+2

x

，0≤x≤18…..6′
令

x

=t，t∈[0，3

2

]，则y=

1

4

（-t²+8t+18）=-

1

4

（t-4）²+

34

4

．…8′
∴当t=4时，y_max=

34

4

=8.5，此时x=16，18-x=2．
∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元．…9′

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．