题目内容
【题目】设
是以
为焦点的抛物线
，
是以直线
与
的渐近线，以
为一个焦点的双曲线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若与在第一象限有两个公共点
，求
的取值范围，并求
的最大值；
（3）是否存在正数，使得此时
的重心
恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
；9；（3）存在正数
，
【解析】
（1）可知焦点坐标在
轴上，可设
，再根据两条渐近线
与
得出
关系式，再由焦点是
，结合
即可求得双曲线方程；
（2）由
与
在第一象限内有两个公共点
和
，联立双曲线和抛物线方程，可得的取值范围；设
，用坐标表示
，利用韦达定理及配方法，可得的最大值；
（3）由（2）及重心公式可得
的重心
，
，即，
，假设
恰好在双曲线的渐近线上，代入渐近线方程，即可求得结论．
（1）由题可知焦点为，故焦点在轴上，设双曲线的方程为
是以直线与为渐近线，
，
，
，双曲线方程为；
（2）抛物线
的焦点
，
，联立双曲线方程消得：
，
可得
，
与在第一象限内有两个公共点和，
，
设，则
将代入得
，函数的对称轴为
，
，
时，的最大值为9；
（3）由（2）知的重心
为，，
，
，
假设恰好在双曲线的渐近线上，代入可得
，
，
或，，
存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上
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