Question

如图，已知△OFQ的面积为S，且．
（Ⅰ）若，求的范围；
（Ⅱ）设若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，以c为变量，当取最小值时，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令，由题设知，，∵，∴，由此可求出的范围．．
（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），由题设知.，．由此知，由此入手，当取最小值时，能够求出椭圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）令，
∵，∴，∴，
∵=，
∴，∵，∴，
∵θ∈[0，π]，∴．

（Ⅱ）以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），
且．
∵，
∴．
∴，∴．
∴，
∵c≥2，
∴当c=2时，最小，此时Q（），
设椭圆方程为，
∴，
∴a²=10，b²=6．
∴所求椭圆为．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．