题目内容

对于函数,给出下列四个命题:
①存在,使; 
②存在,使f(x-α)=f(x+α)恒成立;
③存在φ∈R,使函数f(x+ϕ)的图象关于坐标原点成中心对称;
④函数f(x)的图象关于直线对称;
⑤函数f(x)的图象向左平移就能得到y=-2cosx的图象
其中正确命题的序号是   
【答案】分析:利用辅助角公式,我们可将函数f(x)的解析式化为正弦型函数的形式,由正弦型函数的值域,可以判断①的真假;根据正弦型函数的周期性,可以判断②的真假;根据正弦函数的对称性,可以判断③④的真假;根据正弦型函数的图象的平移变换法则,及诱导公式,可以判断⑤的真假,进而得到答案.
解答:解:∵=2sin(x+
时,α+∈(-),此时f(α)∈(-),故①错误;
若f(x-α)=f(x+α)恒成立,则2α为函数的一个周期,则2α=2kπ,k∈N*,即α=kπ,k∈N*,故②错误;
存在φ=-+kπ,k∈Z,使函数f(x+ϕ)的图象关于坐标原点成中心对称,故③正确;
函数图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z,当k=-1时,,故④正确;
函数f(x)的图象向左平移后得到y=2sin(x++)=2sin(x+)=2cosx的图象,故⑤错误;
故答案为:③④
点评:本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,函数y=Asin(ωx+φ)的值域,函数y=Asin(ωx+φ)的对称性,熟练掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是解答本题的关键.
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