题目内容
已知函数f(x)=2sin(2x+
)+1.
(Ⅰ)当x=
π时,求f(x)值;
(Ⅱ)若存在区间[a,b](a,b∈R且a<b),使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
π |
3 |
(Ⅰ)当x=
4 |
3 |
(Ⅱ)若存在区间[a,b](a,b∈R且a<b),使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
分析:(Ⅰ)当x=
π时,代入f(x)的解析式,即可得到f(x)的值;
(Ⅱ)令f(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间(a,mπ+a)(m∈N*)恰有4个零点,即可得到a,b满足的条件,进一步即可得出b-a的最小值.
4 |
3 |
(Ⅱ)令f(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间(a,mπ+a)(m∈N*)恰有4个零点,即可得到a,b满足的条件,进一步即可得出b-a的最小值.
解答:解:(1)当x=
π时,f(x)=2sin(2×
+
)+1=2sin(3π)+1=2sinπ+1=1;
(2)f(x)=0⇒sin(2x+
)=-
⇒x=kπ-
或x=kπ-
π,k∈Z,
即f(x)的零点相离间隔依次为
和
,
故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,
则b-a的最小值为2×
+3×
=
.
4 |
3 |
4π |
3 |
π |
3 |
(2)f(x)=0⇒sin(2x+
π |
3 |
1 |
2 |
π |
4 |
7 |
12 |
即f(x)的零点相离间隔依次为
π |
3 |
2π |
3 |
故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,
则b-a的最小值为2×
2π |
3 |
π |
3 |
7π |
3 |
点评:本题综合考查了三角函数的周期性、函数的零点等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.

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