题目内容

已知函数f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1

(Ⅰ)当x=
4
3
π
时,求f(x)值;
(Ⅱ)若存在区间[a,b](a,b∈R且a<b),使得y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,在满足上述条件的[a,b]中,求b-a的最小值.
分析:(Ⅰ)当x=
4
3
π
时,代入f(x)的解析式,即可得到f(x)的值;
(Ⅱ)令f(x)=0,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若b-a最小,则a和b都是零点,此时在区间(a,mπ+a)(m∈N*)恰有4个零点,即可得到a,b满足的条件,进一步即可得出b-a的最小值.
解答:解:(1)当x=
4
3
π
时,f(x)=2sin(2×
3
+
π
3
)+1=2sin(3π)+1=2sinπ+1=1

(2)f(x)=0⇒sin(2x+
π
3
)=-
1
2
⇒x=kπ-
π
4
x=kπ-
7
12
π,k∈Z

即f(x)的零点相离间隔依次为
π
3
3

故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,
则b-a的最小值为
3
+3×
π
3
=
3
点评:本题综合考查了三角函数的周期性、函数的零点等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力.
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