题目内容

已知关于x方程xlnx=ax+1(a∈R),下列说法正确的是


  1. A.
    方程可能没有实数根
  2. B.
    方程可能有两个实数根
  3. C.
    方程一定有一个实数根
  4. D.
    方程一定有两个实数根
C
分析:先将方程变形为lnx=a+,构造函数f(x)=lnx-a-,确定函数f(x)=lnx-a-在(0,+∞)上单调增,再利用零点存在定理即可得到结论.
解答:∵x>0,∴方程xlnx=ax+1可化为lnx=a+
构造函数f(x)=lnx-a-,则f′(x)=>0
∴函数f(x)=lnx-a-在(0,+∞)上单调增
∵x→0时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)>0
∴方程一定有一个实数根
故选C.
点评:本题重点考查方程根的存在性,考查导数知识的运用,解题的关键是构建函数,确定函数的单调性.
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