题目内容
已知关于x方程xlnx=ax+1(a∈R),下列说法正确的是
- A.方程可能没有实数根
- B.方程可能有两个实数根
- C.方程一定有一个实数根
- D.方程一定有两个实数根
C
分析:先将方程变形为lnx=a+
,构造函数f(x)=lnx-a-
,确定函数f(x)=lnx-a-
在(0,+∞)上单调增,再利用零点存在定理即可得到结论.
解答:∵x>0,∴方程xlnx=ax+1可化为lnx=a+
构造函数f(x)=lnx-a-
,则f′(x)=
>0
∴函数f(x)=lnx-a-
在(0,+∞)上单调增
∵x→0时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)>0
∴方程一定有一个实数根
故选C.
点评:本题重点考查方程根的存在性,考查导数知识的运用,解题的关键是构建函数,确定函数的单调性.
分析:先将方程变形为lnx=a+



解答:∵x>0,∴方程xlnx=ax+1可化为lnx=a+

构造函数f(x)=lnx-a-


∴函数f(x)=lnx-a-

∵x→0时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)>0
∴方程一定有一个实数根
故选C.
点评:本题重点考查方程根的存在性,考查导数知识的运用,解题的关键是构建函数,确定函数的单调性.

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