题目内容

已知点B(0,1),点C(0,—3),直线PB、PC都是圆的切线(P点不在y轴上).
(I)求过点P且焦点在x轴上抛物线的标准方程;
(II)过点(1,0)作直线与(I)中的抛物线相交于M、N两点,问是否存在定点R,使为常数?若存在,求出点R的坐标与常数;若不存在,请说明理由。

(I)     (II)存在定点R(0,0),相应的常数是 

解析试题分析:(I)设直线PC的方程为:
所以PC的方程为  
得P点的坐标为(3,1)。
可求得抛物线的标准方程为  
(II)设直线l的方程为,代入抛物线方程并整理得

   11分
时上式是一个与m无关的常数
所以存在定点R(0,0),相应的常数是 
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;抛物线的标准方程.
点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.研究直线与圆锥曲线位置关系的问题,通常有两种方法:一是转化为研究方程组的解的问题,利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后,将交点问题(包括公共点个数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数的关系及判别式解决问题;二是运用数形结合的思想.

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