题目内容

已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C.

(1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;

(2)设=α =β,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

(1)由题意设直线l的方程为:y=kx+2(k≠0),

联立方程可得,消去y并整理得:k2x2+(4k-4)x+4=0①

设A(x1,y1) ,B(x2 ,y2),又C(-,0),则

x1+x2=-,x1·x2

|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=

而|MC|2=(|--0|)2

∴|MC|2=|MA|·|MB|≠0 ,

即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列.

(2)=α =β得,

(x1,y1-2)=α(-x1,-y1),

(x2,y2-2)=β(-x2,-y2),

即得:α=,β=,则

α+β=

 把(1)中②代入上式整理可得α+β=-1,故α+β为定值且定值为-1.

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