题目内容
已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点,且直线l与x轴交于点C.
(1)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列;
(2)设=α, =β,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
(1)由题意设直线l的方程为:y=kx+2(k≠0),
联立方程可得,消去y并整理得:k2x2+(4k-4)x+4=0①
设A(x1,y1) ,B(x2 ,y2),又C(-,0),则
x1+x2=-,x1·x2=②
|MA|·|MB|=|x1-0|·|x2-0|=,
而|MC|2=(|--0|)2=,
∴|MC|2=|MA|·|MB|≠0 ,
即|MA|,|MC|,|MB|成等比数列.
(2)由=α, =β得,
(x1,y1-2)=α(-x1-,-y1),
(x2,y2-2)=β(-x2-,-y2),
即得:α=,β=,则
α+β=
把(1)中②代入上式整理可得α+β=-1,故α+β为定值且定值为-1.
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