已知椭圆C1:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点与抛物线C2:x2=4y的焦点重合.离心率e=$\frac{1}{2}$．(1)求椭圆Cl的方程,(2)设P是抛物线C2准线上的一个动点.过P作抛物线的切线PA.PB.A.B为切点．(i)求证:直线AB经过一个定点,(ii)若直线AB与椭圆C1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C₂：x²=4y的焦点重合，离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C_l的方程；
（2）设P是抛物线C₂准线上的一个动点，过P作抛物线的切线PA、PB，A、B为切点．
（i）求证：直线AB经过一个定点；
（ii）若直线AB与椭圆C₁交予M、N两点，椭圆的下焦点为F′，求△MF′N面积的最大值．

分析（1）求得抛物线的焦点，可得椭圆的c=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）（i）设P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用导数，求得切线的斜率，求得PA，PB的方程，进而得到直线AB的方程，即可得到定点（0，1）；
（ii）由题意得直线AB斜率存在，设AB：y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，得到k的关系式，再由导数判断函数f（u）=3u+$\frac{1}{u}$（u≥1）的单调性，即可得到最大值．

解答解：（1）抛物线C₂：x²=4y的焦点为（0，1），则椭圆的c=1，
由于椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）（i）证明：抛物线的准线为y=-1，设P（t，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
y=$\frac{1}{4}$x²的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
k_PA=$\frac{1}{2}$x₁，PA：y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²+y₁，
将x₁²=4y₁代入得PA：y=$\frac{1}{2}$x₁x-y₁，
PA过点P（t，-1）代入得tx₁-2y₁+2=0，
同理可得由PB过点P（t，-1）可得tx₂-2y₂+2=0，
则直线AB：tx-2y+2=0，
故直线AB恒过定点（0，1）；
（ii）由题意得直线AB斜率存在，设AB：y=kx+1，代入椭圆方程$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
得（3k²+4）x²+6kx-9=0，易得判别式大于0恒成立，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
x₃+x₄=-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，x₃x₄=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$，
即有S_△MNF'=$\frac{1}{2}$|FF'|•|x₃-x₄|=|x₃-x₄|=$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（3{k}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{k}^{2}+4}}$=$\frac{12k\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+4}$，
令u=$\sqrt{1+{k}^{2}}$（u≥1），即有k²=u²-1，
S_△MNF'=$\frac{12u}{3{u}^{2}+1}$=$\frac{12}{3u+\frac{1}{u}}$，令f（u）=3u+$\frac{1}{u}$（u≥1），
f′（u）=3-$\frac{1}{{u}^{2}}$＞0，则f（u）在[1，+∞）递增，
则当u=1，即k=0时，S_△MNF'=取得最大值3．
△MF′N面积的最大值为3，此时k=0，AB的方程为y=1．

点评本题考查抛物线和椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查椭圆方程和直线联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，注意运用函数的单调性求最值的方法，属于中档题．

练习册系列答案

寒假作业美妙假期云南科技出版社系列答案

归类加模拟考试卷新疆文化出版社系列答案

全程达标小升初模拟加真题考试卷新疆美术摄影出版社系列答案

中考方舟真题超详解系列答案

一品教育一品设计河南人民出版社系列答案

快乐假期行寒假用书系列答案

	A．	[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z		B．	[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z
	C．	[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z		D．	[kπ，$\frac{π}{2}$+kπ]，k∈Z

5．

如图，在四棱锥A-BCDE中，AB=AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，点F为矩形BCDE的对角线的交点，G是AE的中点，平面BCDE⊥平面ABC．
（1）求证：GF⊥平面ABE；
（2）若BC=4，四棱锥A-BCDE的体积为16，求CD的长．

2．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间
（2）设a=-1，求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）+2＞0
（3）求证：$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N₊且n≥2）

9．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的坐标为（c，0），若b=c，且点（c，1）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）当k≠0时，若直线l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$）与椭圆r的交点为A，B；直线l₂：y=k（$\sqrt{2}$x+1）与圆E：x²+y²=1的交点为M，N，记△AOB和△MON的面积分别为S₁，S₂，其中O为坐标原点，证明$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$为定值，并求出该定值．

19．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过E的右焦点作直线l与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x=3分别交于C、D两点，记△ACD与△AMN的面积分别为S₁、S₂，且S₁•S₂=$\frac{18}{7}$，求直线l的方程．

6．已知平面内一封闭曲线C上的任意点M与两定点O（0，0），P（0，3）的距离之比为2．
（1）求封闭曲线C的方程；
（2）过曲线上的一点N作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B．切线NA，NB分别交x轴于D，E两点．问：
①若N的坐标为（$\sqrt{3}$，5），求|DE|的长度；
②是否存在这样点N，使得线段DE被曲线C在点N处的切线平分？若存在，求出点N的纵坐标，若不存在，说明理由．

3．已知函数f（x）=ln（ax+1）（x≥0，a＞0），g（x）=$\frac{x-2}{x+2}$．
（1）讨论函数y=f（x）-g（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）≥g（x）+1在x∈[0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，证明：$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$$＜\frac{1}{2}$f（n）（n∈N^*）．

4．某学校对学生进行三项身体素质测试，每项测试的成绩有3分、2分、1分，若各项成绩均不小于2分切三项测试分数之和不小于7分的学生，则其身体素质等级记为优秀；若三项测试分数之和小于6分，则该学生身体素质等级记为不合格，随机抽取10名学生的成绩记录如下表：

学生编号	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	a₈	a₉	a₁₀
三项成绩	2，1，2	1，2，2	2，3，2	3，1，1	3，2，2	2，3，1	3，3，3	1，1，1	3，3，1	2，2，2

（1）利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；
（2）从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取2人组成小组加强锻炼，求这2人三项测试总分相同的概率．

试题分类