Question

如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.

（1）证明：OM·OP=OA²；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°.

Answer 1

证明略

解析:

证明  (1)因为MA是圆O的切线,所以OA⊥AM.

又因为AP⊥OM,在Rt△OAM中,由射影定理知,

OA²=OM·OP.

（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，

同（1），有OB²=ON·OK，又OB=OA，

所以OP·OM=ON·OK，即=.

又∠NOP=∠MOK，

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°.