Question

已知a=（

1

3

x²，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]．
（1）求f（x）=a•b的表达式；
（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积法则求出f（x），
（2）令导数为0求出根，列表判断根左右两边的导函数符号，求出极值，比较极值和端点值，求出函数的最值．用向量的数量积的法则求出向量夹角．

解答：解：（1）f（x）=a•b=

1

3

x²•x+x•（x-3）=

1

3

x³+x²-3x，x∈[-4，4]．
（2）f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1）．
列表：

故当x=1时，f（x）有最小值为-

5

3

．
此时a=（

1

3

，1），b=（1，-2）．
设θ为a与b的夹角，则cosθ=

a•b

|a||b|

=-

2

2

．
又由θ∈[0，π]，得θ=

3π

4

．
答：f（x）=a•b的表达式为

1

3

x³+x²-3x，x∈[-4，4]．
f（x）的最小值为-

5

3

，此时a与b的夹角为

3π

4

．

点评：利用导数求函数的最值在高考题中在选择题、填空题中及解答题中都有可能出现．