题目内容
已知数列的前项和为,通项为,且满足(是常数且).
(I)求数列的通项公式;
(II) 当时,试证明;
(III)设函数,,是否存在正整数,使对都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解:(I)由题意,,得∴ …1分
当时, ,
∴ …3分
∴数列是首项,公比为的等比数列,∴ ………4分
(II)由(Ⅰ)知当时, ………5分
∵,∴ …………6分
即 ……7分
(III)∵
=
= …9分
∵ ……10分
∴= …12分
由得 -------()
∵()对都成立 ∴ ∵是正整数,∴的值为1,2,3.
∴使对都成立的正整数
存在,其值为:1,2,3. 解:(I)由题意,,得∴ …1分
当时, ,
∴ …3分
∴数列是首项,公比为的等比数列,∴ ………4分
(II)由(Ⅰ)知当时, ………5分
∵,∴ …………6分
即 ……7分
(III)∵
=
= …9分
∵ ……10分
∴= …12分
由得 -------()
∵()对都成立 ∴ ∵是正整数,∴的值为1,2,3.
∴使对都成立的正整数存在,其值为:1,2,3. ……13分
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