Question

如图，已知在坐标平面内，M、N是x轴上关于原点O对称的两点，P是上半平面内一点，△PMN的面积为，．
（Ⅰ）求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x=-4于点E，点B、E分、λ₂，求证：λ₁+λ₂=0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（-c，0），N（c，0）（c＞0），P（x，y），则，2cx=2c，故x=1.．，由．由此入手能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当l的斜率不存在时，l与x=-4无交点，不合题意．当l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，化简得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．设点C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），再由根的判别式和韦达定理进行求解．
解答：解：（Ⅰ）设M（-c，0），N（c，0）（c＞0），P（x，y），
则，2cx=2c，故x=1．①
又∵．②
∵，
由已知，
即．③
将①②代入③，，，，
∴．
设椭圆方程为．
∵在椭圆上，
∴，
∴椭圆方程为：．
（Ⅱ）①当l的斜率不存在时，l与x=-4无交点，
不合题意．
②当l的斜率存在时，设l方程为y=k（x+1），
代入椭圆方程
化简得：（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．设点C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
则：，
∵，
∴，

而=，
∴λ₁+λ₂=0．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求证λ₁+λ₂=0．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用椭圆的性质，恰当地进行等价转化．