题目内容
设关于x的方程4x-2x+1-b=0(b∈R)
(Ⅰ)若方程有实数解,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.
(Ⅰ)若方程有实数解,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.
(Ⅰ)原方程为b=4x-2x+1,
∵4x-2x+1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,
∴当b∈[-1,+∞)时方程有实数解;(4分)
(Ⅱ)①当b=-1时,2x=1,∴方程有唯一解x=0;(6分)
②当b>-1时,∵(2x-1)2=1+b?2x=1±
.
∵2x>0,1+
>0,∴2x=1+
的解为x=log2(1+
);--(8分)
令1-
>0?
<1?-1<b<0,
∴当-1<b<0时,2x=1-
的解为x=log2(1-
);--(10分)
综合①、②,得
(1)当-1<b<0时原方程有两x=log2(1±
);
(2)当b≥0或b=-1时,原方程有唯一解x=log2(1+
);(12分)
∵4x-2x+1=(2x)2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,
∴当b∈[-1,+∞)时方程有实数解;(4分)
(Ⅱ)①当b=-1时,2x=1,∴方程有唯一解x=0;(6分)
②当b>-1时,∵(2x-1)2=1+b?2x=1±
1+b |
∵2x>0,1+
1+b |
1+b |
1+b |
令1-
1+b |
1+b |
∴当-1<b<0时,2x=1-
1+b |
1+b |
综合①、②,得
(1)当-1<b<0时原方程有两x=log2(1±
1+b |
(2)当b≥0或b=-1时,原方程有唯一解x=log2(1+
1+b |

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