题目内容

设关于x的方程4x-2x+1-b=0(b∈R)
(Ⅰ)若方程有实数解,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当方程有实数解时,讨论方程实根的个数,并求出方程的解.
(Ⅰ)原方程为b=4x-2x+1
∵4x-2x+1=(2x2-2×2x=(2x-1)2-1≥-1,
∴当b∈[-1,+∞)时方程有实数解;(4分)
(Ⅱ)①当b=-1时,2x=1,∴方程有唯一解x=0;(6分)
②当b>-1时,∵(2x-1)2=1+b?2x=1±
1+b

2x>0,1+
1+b
>0
,∴2x=1+
1+b
的解为x=log2(1+
1+b
)
;--(8分)
1-
1+b
>0?
1+b
<1?-1<b<0

当-1<b<0时,2x=1-
1+b
的解为x=log2(1-
1+b
)
;--(10分)
综合①、②,得
(1)当-1<b<0时原方程有两x=log2(1±
1+b
)

(2)当b≥0或b=-1时,原方程有唯一解x=log2(1+
1+b
)
;(12分)
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