Question

已知等腰梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=1，高DO=1．以高线DO为折痕，将平面ADO折起，使得平面ADO⊥平面BCDO，点H为棱AC的中点．
（1）求直线OC与直线AB所成的余弦值；
（2）求平面ADO与平面ACB所成的锐二面角的余弦值；
（3）在平面ADO内找一点G，使得GH⊥平面ACB．

Answer 1

分析：（1）以O为原点，OD、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴建立直角空间坐标系，利用

OC

，

AB

的夹角求解．
（2）分别求出平面ACB，平面ADO的一个法向量．利用两法向量夹角求解．
（3）要使GH⊥平面ACB，则

GH

∥

n

，根据向量共线定理求出G坐标．

解答：解：（1）以O为原点，OD、OB、OA分别为x轴、y轴、z轴建立直角空间坐标系．
则C（1，1，0），A（0，0，1），B（0，2，0），H(

1

2

，

1

2

，

1

2

)…（3分）∴

OC

=(1，1，0)，

AB

=(0，2，-1)∴cos＜

OC

，

AB

＞=

10

5

…（5分）
直线OC与直线AB所成的余弦值为

10

5

；
 （2）设

n

=(x，y，z)是平面ACB的一个法向量，又

AC

=(1，1，-1)，

AB

=(0，2，-1)
∴

x+y-z=0 2y-z=0

不妨取y=1，则

n

=(1，1，2)…（7分）
又平面ADO的一个法向量为

OB

=(0，2，0)
∴cos＜

n

，

OB

＞=

6

6

，即为所求                          …（10分）
（3）设G（x，0，z），则

GH

=(x-

1

2

，-

1

2

，z-

1

2

)，…（12分）
要使GH⊥平面ACB，则

GH

∥

n

，所以则G(0，0，-

1

2

)…（15分）

点评：本题考查异面直线夹角，二面角求解，直线和平面垂直关系．考查转化的思想方法（空间问题平面化）空间想象能力，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证与求解演变成了代数运算，降低了思维难度，使人们解决问题更加方便．