题目内容
已知函数,
(1)求函数的单调区间;
(2)若方程有且只有一个解,求实数m的取值范围;
(3)当且,时,若有,求证:.
(1)的递增区间为,递减区间为和;(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)对求导可得,令,或,由导数与单调性的关系可知,所以递增区间为,递减区间为;
(2)若方程有解有解,则原问题转化为求f(x)的值域,而m只要在f(x)的值域内即可,由(1)知,, 方程有且只有一个根,又的值域为,;
(3)由(1)和(2)及当,时,有,不妨设,
则有,,又,
即,同理,又,,且在上单调递减,
,即.
试题解析:(1),令,即,解得,
令,即,解得,或,
的递增区间为,递减区间为和. 4分
(2)由(1)知,, 6分
方程有且只有一个根,又的值域为,由图象知
8分
(3)由(1)和(2)及当,时,有,不妨设,
则有,,又,
即, 11分
,又,,且在<
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