题目内容
已知抛物线的焦点
以及椭圆
的上、下焦点及左、右顶点均在圆
上.
(1)求抛物线和椭圆
的标准方程;
(2)过点的直线交抛物线
于
两不同点,交
轴于点
,已知
,求
的值;
(3)直线交椭圆
于
两不同点,
在
轴的射影分别为
,
,若点
满足
,证明:点
在椭圆
上.
【答案】
(1) ,
;(2)-1;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系,求解抛物线方程;根据椭圆的焦点和右定点也在圆上,确定椭圆方程;(2)利用已知的向量关系式进行坐标转化求出,然后通过直线与抛物线方程联立,借助韦达定理进行化简
并求值;(3)借助向量问题坐标化和点在椭圆上,明确点S的坐标,进而证明其在椭圆
上.
试题解析:(1)由抛物线的焦点
在圆
上得:
,
∴抛物线 .
2分
同理由椭圆的上、下焦点
及左、右顶点
均在
上可解得:
.
得椭圆.
4分
(2)设直线的方程为
,则
.
联立方程组,消去
得:
且
5分
由得:
整理得:
.
8分
(3)设,则
由得
;①
;②
;③
11分
由①+②+③得
∴满足椭圆
的方程,命题得证. 13分
考点:1.抛物线和椭圆的方程;(2)直线与抛物线的位置关系;(3)向量的坐标运算.

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