题目内容

过点B（0，1）的直线l₁交曲线x=2于P（2，y₀），过点B'（0，-1）的直线l₂交x轴于P'（x₀，0）点， $数学公式$ ，l₁∩l₂=M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l与C相交于不同的两点S、T，已知点S的坐标为（-2，0），点Q（0，m）在线段ST的垂直平分线上且 $数学公式$ ≤4，求m的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意，直线l₁的方程是 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴l₁的方程是 $\text{[math]}$
若直线l₂与y轴重合，则M（0，1）；
若直线l₂不与y重合，可求得直线l₂的方程是 $\text{[math]}$ ，与l₁的方程联立消去x₀得 $\text{[math]}$ ，
因l₁不经过（0，-1），故动点M的轨迹C的方程是 $\text{[math]}$ （y≠-1）…（5分）
（Ⅱ）设T（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2） $\text{[math]}$
于是S、T两点的坐标满足方程组 $\text{[math]}$ ，由方程消去y并整理得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁= $\text{[math]}$ 得x₁= $\text{[math]}$ ，从而y₁= $\text{[math]}$
设线段ST的中点为N，则N（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（7分）
以下分两种情况：①当k=0时，点T的坐标为（2，0），线段ST的垂直平分线为y轴，
于是 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ≤4得：-2 $\text{[math]}$ ≤m≤2 $\text{[math]}$ ．
②当k≠0时，线段ST的垂直平分线方程为y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）
令x=0，得m= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ =-2x₁-m（y₁-m）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ≤4
解得- $\text{[math]}$ ≤k≤ $\text{[math]}$ 且k≠0，∴m= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴当- $\text{[math]}$ ≤k＜0时， $\text{[math]}$ ≤-4；当0＜k≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ≥4
∴- $\text{[math]}$ ≤m≤ $\text{[math]}$ ，且m≠0
综上所述，- $\text{[math]}$ ≤m＜ $\text{[math]}$ ，且m≠0．…（12分）
分析：（Ⅰ）确定直线l₁、l₂的方程，联立方程可得动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定线段ST的中点坐标，分类讨论，利用 $\text{[math]}$ ≤4，即可得到结论．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．