题目内容

2007年广东省实行高中等级考试，高中等级考试成绩分A，B，C，D四个等级，其中等级D为不合格，09年我校高二学生盛兴参加物理、化学、历史三科，三科合格的概率均为 $数学公式$ ，每科得A，B，C，D 四个等级的概率分别为 $数学公式$ ，
（Ⅰ）求x，y的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，则不能拿到高中毕业证，求学生盛兴不能拿到高中毕业证的概率；
（Ⅲ）若至少有两科得A，一科得B，就能被评为三星级学生，则学生甲被评为三星级学生的概率；
（Ⅳ）设ξ为学生盛兴考试不合格科目数，求ξ的分布列及ξ的数学期望Eξ．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵三科不合格的概率均为 $\text{[math]}$ ，
∴学生盛兴不能拿到高中毕业证的概率 $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为 $\text{[math]}$ ，
∴学生盛兴被评为三星级学生的概率为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅳ）ξ的可能值为0，1，2，3，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ξ的分布列如下表：

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴ξ的数学期望E_ξ= $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据物理、化学、历史三科，三科合格的概率、概率的基本性质列出关于x，y的方程组，解之即得x，y的值
（Ⅱ）利用三科不合格的概率结合对立事件的概率计算公式即可求得：学生盛兴不能拿到高中毕业证的概率；
（Ⅲ）根据每科得A，B的概率结合n次独立重复试验中恰好发生k次的概率的计算公式即可求得：学生盛兴被评为三星级学生的概率；
（Ⅳ）ξ的可能值为0，1，2，3，依次求得它们的概率得出：ξ的分布列，再根据期望的计算公式即可救是ξ的数学期望．
点评：此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、概率的基本性质等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．