Question

定义函数其导函数记为_．

(1)求证：f_n(x)≥nx；

(2)设，求证：0＜x₀＜1；

(3)是否存在区间使函数h(x)＝f₃(x)－f₂(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵，令 　　则 　　当时，当时， 　　∴在上递减，在上递增 　　故在处取得极(最)小值 　　∴，即(当且仅当时取等号)　　　　4分; 　　(2)由，得 　　∴，，易知，　　　　6分 　　而 　　由(1)知当时，，故 　　∴，∴　　　　　　　　　　　9分; 　　(3) 　　 　　 　　令，得或， 　　∴当时，； 　　当时，； 　　当时，， 　　故的图象如图所示． 　　下面考查直线与的相交问题 　　由图可知直线与存在交点，且满足在区间上的值域为 　　∵在上，为图象的极小值点 　　∴过作直线与的图象交于另一点，当直线绕原点顺时钟旋转至点时，满足条件的取最小值，即的最小值为，相应区间为．　　　　　　　　　　　　　　　14分