题目内容

（文）已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ （n为正整数），函数 $数学公式$ ，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，其中b_n=a_n+1²-a_n²，设S_n为数列{b_n}的前n项和，求 $数学公式$ ；
（3）已知点列A₁（1，a₁²）、A₂（2，a₂²）、A₃（3，a₃²）、…、A_n（n，a_n²）、…，设过任意两点A_i，A_j（i，j为正整数）的直线斜率为k_ij，当i=2008，j=2010时，求直线A_iA_j的斜率．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ =x²-2 $\text{[math]}$ x+1（2分）
抛物线的顶点横坐标为 $\text{[math]}$ ，
开口向上，在（0，+∞）上当 $\text{[math]}$ 时函数取得最小值，所以 $\text{[math]}$ ；（4分）
（2）∵b_n=a_n+1²-a_n²=（n+1）²+1-（n²+1）=2n+1．
是首项为3，公差为2的等差数列，
所以：S_n= $\text{[math]}$ =n²+2n；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =2．
（3）∵A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），
∴k= $\text{[math]}$ =4018．
分析：（1）先根据向量的数量积求出f（x）的解析式，再求出f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{b_n}通项公式；进而求出前n项和S_n，代入所求 $\text{[math]}$ 整理即可得到结论；
（3）先根据条件得到A₂₀₀₈（2008，a₂₀₀₈²），A₂₀₁₀（2010，2010_n²），再代入斜率的计算公式即可得到结论．
点评：本题是对数列知识与函数知识的综合考查．本题涉及到的知识比较多，有数列的极限，数列的求和，二次函数的最值等．考查计算能仪以及分析能力．