Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E是DC的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，连结DB、DC、EB．

（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；

（2）求AD与平面BDC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理的逆定理可得：AE⊥EB，再利用面面垂直的判定定理即可得出：BE⊥平面ADE，进而证明结论．

（2）建立空间直角坐标系．设平面BDC的法向量为，可得求出，可得AD与平面BDC所成角的正弦值.

（1）证明：AE2+BE216＝AB2，∴AE⊥EB，

又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，

∴BE⊥平面ADE，又平面，

∴平面ADE⊥平面BDE；

（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．E（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），D（,0,），C（,,0）．

(,,0)．(,2,)，(,0,)，

设平面BDC的法向量为

则，，x+2z＝0，

取．

∴AD与平面BDC所成角的正弦值．