题目内容

离心率为 $数学公式$ 的双曲线C₁： $数学公式$ - $数学公式$ =1上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为2 $数学公式$ ，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C₁的上顶点重合．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）过直线l：y=a（a为负常数）上任意一点M向抛物线C₂引两条切线，切点分别为AB，坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为（0，1），所以抛物线C₂的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设M（m，a），A（ $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ），故直线MA的方程为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，同理可得： $\text{[math]}$ ，
即x₁，x₂是方程4a=2xm-x²的两个不同的根，所以x₁x₂=4a
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+ $\text{[math]}$ （x₁x₂）²=4a+a²∵坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，
∴4a+a²＜0，即-4＜a＜0．
分析：（Ⅰ）由已知可得双曲线焦距，由离心率，可求长轴长，从而可得双曲线的上顶点为（0，1），故可求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）设M（m，a），A（ $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ），求出切线方程，可得x₁，x₂是方程4a=2xm-x²的两个不同的根，利用韦达定理及坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，可得不等式，从而可求实数a的取值范围．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查抛物线的切线，考查韦达定理的运用，属于中档题．