Question

证明以下命题：
（1）对任一正整a，都存在整数b，c（b＜c），使得a²，b²，c²成等差数列．
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△_n，其边长a_n，b_n，c_n为正整数且a_n²，b_n²，c_n²成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证a²，b²，c²成等差数列，考虑到结构即要证a²+c²=2b²，取特值1²，5²，7²满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．类似勾股数进行拼凑．
（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．
解答：解（1）考虑到结构特征，取特值1²，5²，7²满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．
（2）证明：当a_n²，b_n²，c_n²成等差数列，则b_n²-a_n²=c_n²-b_n²，
分解得：（b_n+a_n）（b_n-a_n）=（c_n+b_n）（c_n-b_n）
选取关于n的一个多项式，4n（n²-1）做两种途径的分解4n（n²-1）=（2n-2）（2n²+2n）=（2n²-2n）（2n+2）4n（n²-1）
对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m，n，若△_m，△_n相似：则三边对应成比例，
由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似．
点评：作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力．考查学生对等比关系和等差关系确定的能力．