题目内容

某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动． A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个．假定参赛者答对每个题的概率均为
14
．
（I）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
（II）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη．
分析：（1）参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，依题意答对一题的概率为
1
4
，则根据独立重复试验公式得到结果．
（2）根据题意得到变量的可能取值，根据变量对应的事件，解出概率，写出分布列和期望，在解期望时，这几项的和解题较困难，因此要构造新数列，利用错位相减得到结果．
解答：解：（I）∵参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个
设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，
依题意答对一题的概率为
1
4
，则根据独立重复试验公式得到
P（M）=
C
4
6
(
1
4
)4(1-
1
4
)2
=15×
9
46
=
135
46
=
135
4096
．
（II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，3，4，5，6，
则P(η=1)=
1
4
，
P(η=2)=
3
42
，
P(η=3)=
9
43
，
P(η=4)=
27
44
，
P(η=5)=
81
45
，
P(η=6)=
243
45
．
∴η的分布列是
精英家教网∴Eη=1×
1
4
+2×
3
4
×
1
4
++5×(
3
4
)4×
1
4
+6×(
3
4
)5
设S=1+2×
3
4
+3×(
3
4
)2++5×(
3
4
)4，
则
3
4
S=
3
4
+2×(
3
4
)2+3×(
3
4
)3+4×(
3
4
)4+5×(
3
4
)5
∴
1
4
S=1+
3
4
+(
3
4
)2+(
3
4
)3+(
3
4
)4-5×(
3
4
)5=
1-(
3
4
)5
1
4
-5×(
3
4
)5，
∴Eη=
1-(
3
4
)5
1
4
-5×(
3
4
)5+6×(
3
4
)5=
46-36
45
=
3367
1024
．
即某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为
135
4096
；
某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，Eη为
3367
1024
．
点评：本题是一个综合问题，考查离散型随机变量的分布列和期望并且结合数列求和的问题，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
练习册系列答案
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