Question

某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动． A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个．假定参赛者答对每个题的概率均为．
（I）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
（II）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη．

Answer 1

【答案】分析：（1）参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，依题意答对一题的概率为，则根据独立重复试验公式得到结果．
（2）根据题意得到变量的可能取值，根据变量对应的事件，解出概率，写出分布列和期望，在解期望时，这几项的和解题较困难，因此要构造新数列，利用错位相减得到结果．
解答：解：（I）∵参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个
设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，
依题意答对一题的概率为，则根据独立重复试验公式得到
P（M）=
=．
（II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
．
∴η的分布列是
∴
设，
则
∴=，
∴Eη==．
即某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；
某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，Eη为．
点评：本题是一个综合问题，考查离散型随机变量的分布列和期望并且结合数列求和的问题，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．