Question

（2010•济南二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且2sin2

A+B

2

+cos2C=1，a=1，b=2.
（1）求C和c．
（2）P为△ABC内任一点（含边界），点P到三边距离之和为d，设P到AB，BC距离分别为x，y，用x，y表示d并求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式对题设等式化简整理得关于cosC的一元二次方程求得cosC的值，进而求得C，进而通过余弦定理求得c．
（2）根据三边的长可知此三角形为直角三角形，进而以两直角边为坐标轴建立直角坐标系，则可推断出AC的直线方程，设出P的坐标，则可用x和y和点P到直线AC的距离表示出P到三边的距离，进而根据题意可判断出x和y满足的不等式关系，进而求得d的范围．

解答：解：（1）∵sin2

A+B

2

+cos2C=1
∴cos2C=1-2sin2

A+B

2

=cos(A+B)=-cosC
∴2cos²C+cosC-1=0
∴cosC=

1

2

或-1
∵C∈(0，π)-，∴C=

π

3

由余弦定理c=

a2+b2-2abcosC

=

3

（2）由（1）知△ABC是直角三角形，如图建立直角坐标系，
直线AC的方程为

3

x+y-

3

=0，
设P（x，y），
则d=x+y+

| 3 x+y- 3 |

2

=

1

2

[(2-

3

)x+y+

3

]
又x，y满足

x≥0 y≥0 3 x+y- 3 ≤0

⇒

3

2

≤d≤

3

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．涉及了三角函数中的二倍角公式，余弦定理和点到直线的距离公式等．考查了基础知识的综合运用．