题目内容
已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据短轴一个端点到右焦点的距离为3求出a，然后根据离心率求出b，最后根据a、b、c关系求出b，从而求出椭圆的标准方程；
（2）设P点坐标为（x，y），若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|，建立关于x和y的一个方程，然后根据P（x，y）在椭圆上，建立第二个方程，解之即可求出所求．
解答：
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b=2，∴所求椭圆方程为
（2）如图，设P点坐标为（x，y），
若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|．
即
有
两边平方得x2+y2=8①
又因为P（x，y）在椭圆上，所以4x2+9y2=36②
①，②联立解得
所以满足条件的有以下四组解
，
，
，
所以，椭圆C上存在四个点
，
，
，
，
分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．
点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，以及圆的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，此题是个难题．
（2）设P点坐标为（x，y），若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|，建立关于x和y的一个方程，然后根据P（x，y）在椭圆上，建立第二个方程，解之即可求出所求．
解答：
解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=2，∴所求椭圆方程为
（2）如图，设P点坐标为（x，y），
若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|．
即
有
两边平方得x2+y2=8①
又因为P（x，y）在椭圆上，所以4x2+9y2=36②
①，②联立解得
所以满足条件的有以下四组解
，，，所以，椭圆C上存在四个点
，，，，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．
点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，以及圆的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，此题是个难题．
练习册系列答案
相关题目
+
=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（
，
）两点．
+
+
为定值．
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2线与圆x2+y2=b2相切于点A，并与椭圆C交与不同的两点P，Q，如图，PF1⊥PQ，若A为线段PQ的靠近P的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）
+
=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e．
，且恰好经过椭圆的右顶点，求e的大小；
y+3=0相切，求椭圆方程．
+
=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e．
，且恰好经过椭圆的右顶点，求e的大小；
y+3=0相切，求椭圆方程．
=1（a>b>0）的离心率为
，且在x轴上的顶点分别为
：
与
轴交于点T，P为
分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.